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G Herleitung des Multiplikators

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Alternativ können wir zur Herleitung des Multiplikators im einfachen Einkommen-Ausgabenmodell aus (Kapitel 6.1.2) auch von einem anfänglichen Nachfrageüberschuss ausgehen, wie in Abbildung 6.8 dargstellt.

Der anfängliche Nachfrageüberschuss, \(Y^N - Y\), führt nach der ersten Produktions- und Einkommensausweitung zu einem Anstieg der Nachfrage um das Produkt aus anfänglichem Nachfrageüberschuss (= ersten Einkommensanpassung) und der marginalen Konsumneigung:

\[\Delta_1 Y^N = c_Y (Y^N - Y)\] Da sich das Angebot, und damit das Einkommen in der zweiten Runde nun um diesen Betrag erhöht, steigt die Nachfrage in der zweiten Runde um:

\[\Delta_2 Y^N = c_Y \left(c_Y \left(Y^N - Y \right) \right) = c_Y^2 \left(Y^N - Y \right)\] In jeder Runde ist der Anstieg der Nachfrage also durch das Produkt aus dem anfänglichen Nachfrageüberschuss und der marginalen Konsumneigung, welche mit der Nummer der anktuellen Runde exponiert wird, gegeben. In der n-ten Runde beträgt der Nachfrageanstieg also: \[\Delta_n Y^N = c_Y^n \left(Y^N - Y \right)\] Der Gesamtanstieg der Nachfrage, der nach Abschluss der Anpassung zum Gleichgewicht erreicht ist, ergibt sich durch die Summe des anfänglichen Nachfrageüberschusses (\(Y^N - Y\)) und aller Anstiege in den einzelnen Anpassungsrunden, also:

\[\Delta Y^N = \left(Y^N - Y\right) + c_Y \left(Y^N - Y \right) + c_Y^2 \left(Y^N - Y \right) + ... = \left(Y^N - Y\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} c_Y^n \left(Y^N - Y \right)\] Durch Ausklammern des anfänglichen Nachfrageüberschusses lässt sich diese Gleichung umformen zu:

\[\begin{equation} \Delta Y^N = \left(1 + c_Y+ c_Y^2 + \dots \right) \left(Y^N - Y\right) = \left(1 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_Y^n\right) \left(Y^N - Y\right) \tag{G.1} \end{equation}\]

Zur Vereinfachung bezeichnen wir den Term \(\left(1 + c_Y + c_Y^2 + … \right)\) bzw. \(\left( 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_Y^n \right)\) als \(\mu\) und können Gleichung (G.1) damit so schreiben:

\[\Delta Y^N = \mu \left(Y^N - Y\right)\] Damit sehen wir also, dass \(\mu\) genau der Faktor ist, um den der anfängliche Nachfrageüberschuss erhöht wurde, sodass die Gleichgewichtsbedingung wieder erfüllt ist, \(\mu\) ist also unser Multiplikator!

Dabei ist der Term \(\mu = \left(1 + c_Y + c_Y^2 + … \right) = \left( 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_Y^n \right)\) die Summe einer geometrischen Reihe. Die vereinfachte Darstellung dieser geometrischen Reihe sieht folgendermaßen aus:

\[\mu = \frac{1}{1 - c_Y}\]